2.5 Case n =7.
When n =7, ( 2.3) reduces to
|
|
| |
x7 - 7( a - b )x6 - 21( a2 - b2 )x5 - 35( a3 - b3 )x4 - 35( a4 - b4 )x3 - 21( a5 - b5 )x2 | - 7( a6 - b6 )x - ( a7 - b7 ) = 0 |
|
| (2.62) |
The Roots of ( 2.62) are of the form
|
|
| |
{ x - ( p + k1 + k2 +
k3 )} |
ì
í
î
|
x - |
æ
è
|
p - |
k1
2
|
± jk4 |
ö
ø
|
ü
ý
ø
|
|
ì
í
î
|
x - |
æ
è
|
p - |
k2
2
|
± jk5 |
ö
ø
|
ü
ý
ø
|
|
ì
í
î
|
x - |
æ
è
|
p - |
k3
2
|
± jk6 |
ö
ø
|
ü
ý
ø
|
= 0 |
|
| (2.63) |
Expanding ( 2.63) gives
|
x7 - A6 x6 + A5 x5 - A4 x4 + A3 x3 - A2 x2 + A1 x - A0 = 0 |
| (2.64) |
Where
|
|
|
|
A5 = A¢4 + A¢5 ( p + k1 + k2 + k3 )
|
|
|
A4 = A¢3 + A¢4 ( p + k1 + k2 + k3 ) |
|
|
A3 = A¢2 + A¢3 ( p + k1 + k2 + k3 ) |
|
|
A2 = A¢1 + A¢2 ( p + k1 + k2 + k3 ) |
|
|
A1 = A¢0 + A¢1 ( p + k1 + k2 + k3 ) |
|
|
A0 = A¢0 ( p + k1 + k2 + k3 ) |
|
|
|
| (2.65) |
and where in turn
|
|
|
A¢5 = ( 6p - k1 - k2 - k3 ) |
|
|
|
A¢4 = |
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
|
|
|
æ
è
|
p - |
k3
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k62 + |
æ
è
|
p - |
k2
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k52 + ( 2p - k2 )( 2p - k3 ) |
|
|
+ ( 4p - k2 - k3 )( 2p - k1 )+ |
æ
è
|
p - |
k1
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k42 |
|
|
|
ü
ï
ï
ý
ï
ï
ø
|
|
|
|
|
A¢3 = |
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
|
|
|
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k2
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k52 |
ü
ý
ø
|
( 2p - k3 ) + |
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k3
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k62 |
ü
ý
ø
|
( 2p - k2 ) |
|
|
+ |
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k3
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k62 + |
æ
è
|
p - |
k2
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k52 + ( 2p - k2 )( 2p - k3 ) |
ü
ý
ø
|
( 2p - k1 ) |
|
|
+ ( 4p - k2 - k3 ) |
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k1
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k42 |
ü
ý
ø
|
|
|
|
|
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
|
|
|
|
|
A¢2 = |
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
|
|
|
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k2
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k52 |
ü
ý
ø
|
|
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k3
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k62 |
ü
ý
ø
|
|
|
|
+ |
ì
í
î
|
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k2
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k52 |
ü
ý
ø
|
( 2p - k3 ) + |
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k3
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k62 |
ü
ý
ø
|
( 2p - k2 ) |
ü
ý
ø
|
( 2p - k1 ) |
|
|
+ |
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k3
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k62 + |
æ
è
|
p - |
k2
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k52 + ( 2p - k2 )( 2p - k3 ) |
ü
ý
ø
|
|
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k1
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k42 |
ü
ý
ø
|
|
|
|
|
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
|
|
|
|
|
A¢1 = |
é
ê
ê
ê
ê
ê
ë
|
|
|
ì
í
î
|
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k2
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k52 |
ü
ý
ø
|
( 2p - k3 ) + |
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k3
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k62 |
ü
ý
ø
|
( 2p - k2 ) |
ü
ý
ø
|
|
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k1
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k42 |
ü
ý
ø
|
|
|
|
- |
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k2
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k52 |
ü
ý
ø
|
|
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k3
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k62 |
ü
ý
ø
|
( 2p - k1 ) |
|
|
|
ù
ú
ú
ú
ú
ú
û
|
|
|
|
|
A¢0 = |
é
ê
ë
|
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k2
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k52 |
ü
ý
ø
|
|
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k3
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k62 |
ü
ý
ø
|
|
ì
í
î
|
æ
è
|
p - |
k1
2
|
ö
ø
|
2
|
+ k42 |
ü
ý
ø
|
ù
ú
û
|
|
|
|
|
| (2.66) |
In ( 2.64) consider the co-efficient of x5. From ( 2.65) and ( 2.66), after
multiplying out this reduces to
|
42ap - |
3
4
|
( k12 + k22 + k32 ) + k42 + k52 + k62 - k1 k2 - k1 k3 - k2 k3 = 0 |
| (2.67) |
Now consider the co-efficient of x4 in ( 2.4). From ( 2.65) and ( 2.66),
after multiplying out this reduces to
|
A4 = - |
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
|
|
35p3 - 5 |
ì
í
î
|
3
4
|
( k12 + k22 + k32 ) + k42 + k52 + k62 - k1 k2 - k1 k3 - k2 k3 |
ü
ý
ø
|
p |
|
|
|
+ |
ì
ï
í
ï
î
|
|
|
( k13 + k23 + 33 )
4
|
+ k1 k2 ( k1 + k2 ) + k1 k3 ( k1 + k3 ) + k2 k3 ( k2 + k3 ) |
|
|
|
+ k1 k42 + k2 k52 + k3 k62 + 2k1 k2 k3 |
|
|
|
ü
ï
ý
ï
ø
|
|
|
|
|
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
|
|
| (2.68) |
Comparing ( 2.68) with the co-efficient of x4 in ( 2.62) gives
|
- 35a3 + 35b3 = - |
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
|
|
35( a - b )3 - 5 |
ì
í
î
|
3
4
|
( k12 + k22 + k32 ) + k42 + k52 + k62 - k1 k2 - k1 k3 - k2 k3 |
ü
ý
ø
|
( a - b ) |
|
|
|
+ |
ì
ï
í
ï
î
|
|
|
( k13 +k23 + 33 )
4
|
+ k1 k2 ( k1 + k2 ) + k1 k3 ( k1 + k3 ) + k2 k3 ( k2 + k3 ) |
|
|
|
+ k1 k42 + k2 k52 + k3 k62 + 2k1 k2 k3 |
|
|
|
ü
ï
ý
ï
ø
|
|
|
|
|
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
|
|
| (2.69) |
This reduces to
|
|
|
105a2b - 105ab2 + 5 |
ì
í
î
|
3
4
|
( k12 + k22 + k32 ) + k42 + k52 + k62 - k1 k2 - k1 k3 - k2 k3 |
ü
ý
ø
|
( a - b ) |
|
|
|
- |
ì
í
î
|
( k13 +k23 + 33 )
4
|
+ k1 k2 ( k1 + k2 ) + k1 k3 ( k1 + k3 ) + k2 k3 ( k2 + k3 ) + k1 k42 + k2 k52 + k3 k62 + 2k1 k2 k3 |
ü
ý
ø
|
= 0 |
|
|
|
| (2.70) |
In ( 2.70) substitute for the co-efficient of (a - b) from ( 2.67) and reduce to
|
210a3 - 315a2b + 105ab2 - |
ì
í
î
|
|
|
( k13 + k23 + 33 )
4
|
+ k1 k2 ( k1 + k2 ) + | k1 k3 ( k1 + k3 ) + k2 k3 ( k2 + k3 ) + k1 k42 + k2 k52 + k3 k62 + 2k1 k2 k3 |
ü
ý
ø
|
= 0 |
| |
| (2.71) |
Dividing the term in the k's by (k1+k2+k3) yields
|
210a3 - 315a2b + 105ab2 - ( k1 + k2 + k3 ) |
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
|
|
|
1
4
|
( k12 + k22 + k32 - k1 k2 - k1 k3 - k2 k3 ) |
|
|
|
+ |
1
( k1 +k2 + k3 )
|
|
ì
ï
í
ï
î
|
|
k1 k2 ( k1 + k2 ) + k1 k3 ( k1 + k3 ) + k2 k3 ( k2 + k3 ) |
|
|
|
+ k1 k42 + k2 k52 + k3 k62 + |
11
4
|
k1 k2 k3 |
|
|
|
ü
ï
ý
ï
ø
|
|
|
|
|
ü
ï
ï
ï
ý
ï
ï
ï
ø
|
= 0 |
| (2.72) |
and this can be rewritten
|
210a3 - 315a2b + 105ab2 - ( k1 + k2 + k3 ) |
ì
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
î
|
|
|
ì
í
î
|
3
4
|
( k12 + k22 + k32 ) + k1 k2 + k1 k3 + k2 k3 - k42 - k52 - k62 |
ü
ý
ø
|
|
|
|
|
- |
ì
í
î
|
1
2
|
( k12 + k22 + k32 ) - |
5
4
|
( k1 k2 + k1 k3 + k2 k3 ) - k42 - k52 - k62 |
ü
ý
ø
|
|
|
|
|
+ |
1
( k1 +k2 + k3 )
|
|
ì
ï
í
ï
î
|
|
k1 k2 ( k1 + k2 ) + k1 k3 ( k1 + k3 ) + k2 k3 ( k2 + k3 ) |
|
|
|
+ k1 k42 + k2 k52 + k3 k62 + |
11
4
|
k1 k2 k3 |
|
|
|
ü
ï
ý
ï
ø
|
|
|
|
|
ü
ï
ï
ï
ï
ï
ý
ï
ï
ï
ï
ï
ø
|
=0 |
| (2.73) |
Now substitution from ( 2.67) yields
|
210a3 - 315a2b + 105ab2 - ( k1 + k2 + k3 ) |
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
|
|
42a( a - b ) | - |
ì
í
î
|
1
2
|
( k12 + k22 + k32 ) - |
5
4
|
( k1 k2 + k1 k3 + k2 k3 ) - k42 - k52 - k62 |
ü
ý
ø |
|
|
|
|
+ |
1
( k1 + k2 + k3 )
|
|
ì
ï
í
ï
î
|
|
k1 k2 ( k1 + k2 ) + k1 k3 ( k1 + k3 ) + k2 k3 ( k2 + k3 ) |
|
|
|
+ k1 k42 + k2 k52 + k3 k62 + |
11
4
|
k1 k2 k3 |
|
|
|
ü
ï
ý
ï
ø
|
|
|
|
|
ü
ï
ï
ï
ý
ï
ï
ï
ø
|
= 0 |
| (2.74) |
and dividing through by 42a(a-b) then gives
|
5 |
æ
è
|
a - |
b
2
|
ö
ø
|
- ( k1 + k2 + k3 ) |
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
|
1 - |
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
|
|
|
ì
í
î |
1
2
|
( k12 + k22 + k32 ) - |
5
4
|
( k1 k2 + k1 k3 + k2 k3 ) - k42 - k52 - k62 |
ü
ý
ø |
|
|
|
- |
1
( k1 +k2 + k3 )
|
ì
í
î |
|
k1 k2 ( k1 + k2 ) + k1 k3 ( k1 + k3 ) + k2 k3 ( k2 + k3 ) |
|
|
|
+ k1 k42 + k2 k52 + k3 k62 + |
11
4
|
k1 k2 k3 |
|
|
ü
ý
ø |
|
|
|
42a( a - b )
|
ü
ï
ï
ï
ý
ï
ï
ï
ø
|
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
|
= 0 |
| (2.75) |
In ( 2.75), the numerator in the quotient is of the same order in a and b as the
denominator and therefore the quotient will be a pure number, q7.
Therefore, ( 2.75) becomes
|
5 |
æ
è
|
a - |
b
2
|
ö
ø
|
-( k1 + k2 + k3 )( 1 - q7 ) = 0 |
| (2.76) |
So that
|
( k1 + k2 + k3 ) = |
( 1 - q7 )
|
|
| (2.77) |
Substitution of ( 2.77) into the positive root of ( 2.63) then gives
and as in the previous case, q7 must be less than unity for x to be
positive. Re-arranging for a
|
a = |
æ
è
|
x + |
b
2
|
ö
ø
|
|
æ
è
|
1 - q7
6 - q7
|
ö
ø
|
+ |
b
2
|
|
| (2.79) |
and thus a cannot be an integer following the same argument as in Section 2.2.
Therefore z cannot be an integer in ( 2.1). Thus, subject to q7 exhibiting
satisfactory characteristics, this proves Fermat's Last Theorem for n = 7.
2.6 Extrapolation to n = Any Odd Number.
From the results for n = 5 and n = 7, although only two cases are involved, the
analytical process being completely rigorous, permits extrapolation from
these two cases to the general one of n = any odd number. Thus for the general
case
|
a = |
æ
è
|
x + |
b
2
|
ö
ø
|
|
æ
è
|
1 - qn
n - 1 - qn
|
ö
ø
|
+ |
b
2
|
|
| (2.80) |
| and clearly a in ( 2.80) and z in ( 2.1) cannot be integer because the term |
æ
è
|
1 - qn
n - 1 - qn
|
ö
ø
|
| cannot be integer. Thus, subject
to qn exhibiting satisfactory characteristics, this, in conjunction with
the result for |
n = 4, proves Fermat's Last Theorem for all n.
M2 Version 1.0.0
Ó
P.G.Bass, April 2009
|