2.4 Case n = 5.
When n = 5, ( 2.3) reduces to
|
x5 - 5( a - b )x4 - 10( a2 - b2 )x3 - 10( a3 - b3 )x2 - 5( a4 - b4 )x - ( a5 - b5 ) = 0 |
| (2.43) |
The roots of ( 2.43) are of the form
|
{ x - ( p + k1 + k2 ) } |
ì
í
î
|
x - |
æ
è
|
p - |
k1
2
|
± jk3 |
ö
ø
|
ü
ý
þ
|
|
ì
í
î
|
x - |
æ
è
|
p - |
k2
2
|
± jk4 |
ö
ø
|
ü
ý
þ
|
= 0 |
| (2.44) |
Expanding ( 2.44) gives
|
x5 - A4 x4 + A3 x3 - A2 x2 + A1 x - A0 = 0 |
| (2.45) |
Where
|
|
|
|
|
A3 = |
é
ê
ë |
ì
í
î |
æ
è |
p - |
k2
2
| ö
ø
|
2
|
+ k42 |
ü
ý
þ |
+ ( 2p - k2)(2p - k1 ) + |
ì
í
î |
æ
è |
p - |
k1
2
|
ö
ø |
2
|
+ k32 |
ü
ý
þ |
+ ( 4p - k1 - k2 )( p + k1 + k2 ) | ù
ú
û
|
|
|
|
|
A2 = |
é
ê
ê
ê
ê
ê
ë
|
|
|
ì
í
î |
æ
è |
p - |
k2
2
|
ö
ø |
2
|
+ k42 |
ü
ý
þ |
( 2p - k1 ) + |
ì
í
î |
æ
è |
p - |
k1
2
|
ö
ø |
2
|
+ k32 |
ü
ý
þ |
( 2p - k2 ) |
|
|
+ |
ì
í
î |
æ
è |
p - |
k2
2
|
ö
ø |
2
|
+ k42 + ( 2p - k2 )( 2p - k1 ) + |
æ
è |
p - |
k1
2
|
ö
ø |
2
|
+ k32 |
ü
ý
þ |
( p + k1 + k2 ) |
|
|
|
ù
ú
ú
ú
ú
ú
û |
|
|
|
|
A1 = |
é
ê
ê
ê
ê
ê
ë
|
|
|
ì
í
î |
æ
è |
p - |
k2
2
| ö
ø |
2
|
+ k42 |
ü
ý
þ |
|
ì
í
î |
æ
è |
p - |
k1
2
|
ö
ø |
2
|
+ k32 |
ü
ý
þ |
|
|
|
+ |
ì
í
î |
ì
í
î |
æ
è |
p - |
k2
2
|
ö
ø |
2
|
+ k42 |
ü
ý
þ |
( 2p - k1 ) + |
ì
í
î |
æ
è |
p - |
k1
2
|
ö
ø |
2
|
+ k32 |
ü
ý
þ |
( 2p - k2 ) |
ü
ý
þ |
( p + k1 + k2 ) |
|
|
|
ù
ú
ú
ú
ú
ú
û |
|
|
|
|
A0 = |
é
ê
ë |
ì
í
î |
æ
è |
p - |
k2
2
|
ö
ø |
2
|
+ k42 |
ü
ý
þ |
|
ì
í
î |
æ
è |
p - |
k1
2
|
ö
ø |
2
|
+ k32 |
ü
ý
þ |
( p + k1 + k2 ) |
ù
ú
û |
|
|
|
|
| (2.46) |
Consider the co-efficient of x3 in ( 2.45). In ( 2.46) after multiplying
out this reduces to
|
A3 = 10p2 - |
3
4
|
( k12 + k22 ) - k1 k2 + k32 + k42 |
| (2.47) |
Comparing ( 2.47) with the coefficient of x3 in ( 2.43) gives
|
- 10a2 + 10b2 = 10( a - b )2 - |
3
4
|
( k12 + k22 ) - k1 k2 + k32 + k42 |
| (2.48) |
Which reduces to
|
20a(a - b) - |
3
4
|
( k12 + k22 ) - k1 k2 + k32 + k42 = 0 |
| (2.49) |
Consider the co-efficient of x2 in ( 2.45). In ( 2.46) after multiplying
out this reduces to
|
A2 = - 10p3 + 3 |
ì
í
î
|
3
4
|
( k12 + k22 ) + k1 k2 - k32 - k42 |
ü
ý
þ
|
p - |
( k13 + k23 )
4
|
- k1 k2 ( k1 + k2 ) - k1 k32 - k2 k42 |
| (2.50) |
Comparing this to the co-efficient of x2 in ( 2.43) yields
|
|
|
- 10a3 + 10b3 = - 10( a - b )3 + 3 |
ì
í
î
|
3
4
|
( k12 + k22 ) + k1 k2 - k32 - k42 |
ü
ý
þ
|
p | - |
( k13 + k23 )
4
|
- k1 k2 ( k1 + k2 ) - k1 k32 - k2 k42 |
|
|
|
| (2.51) |
and this reduces to
|
30a2b - 30ab2 + 3 |
ì
í
î
|
3
4
|
( k12 + k22 ) + k1 k2 - k32 - k42 |
ü
ý
þ
|
p - |
( k13 + k23 )
4
|
- k1 k2 ( k1 + k2 ) - k1 k32 - k2 k42 = 0 |
| (2.52) |
Substituting ( 2.49) for the coefficient of p in ( 2.52) gives
|
30a2b - 30ab2 + 3{ 20a(a - b) }( a - b ) - |
( k13 + k23 )
4
|
- k1 k2 ( k1 + k2 ) - k1 k32 - k2 k42 = 0 |
| (2.53) |
and this reduces to
|
60a3 - 90a2b + 30ab2 - |
( k13 + k23 )
4
|
- k1 k2 ( k1 + k2 ) - k1 k32 - k2 k42 = 0 |
| (2.54) |
Eq.( 2.54) may be rewritten as
|
60a3 - 90a2b + 30ab2 - ( k1 + k2 ) |
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
|
|
|
ì
í
î
|
3
4
|
( k12 + k22 ) + k1 k2 - k32 - k42 |
ü
ý
þ
|
|
|
|
|
- |
ì
í
î
|
( k12 + k22 )
2
|
+ |
k1 k2
4
|
- k32 - k42 - |
( k1 k32 + k2 k42 )
( k1 + k2 )
|
ü
ý
þ
|
|
|
|
|
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
|
= 0 |
| (2.55) |
Now substitution from ( 2.49) gives
|
60a3 - 90a2b + 30ab2 - ( k1 + k2 ) |
é
ê
ê
ë
|
|
20a(a - b) | - |
ì
í
î
|
( k12 + k22 )
2
|
+ |
k1 k2
4
|
- k32 - k42 - |
( k1 k32 + k2 k42 )
( k1 + k2 )
|
ü
ý
þ
|
|
|
|
|
|
ù
ú
ú
û
|
= 0 |
| (2.56) |
and dividing through by 20a(a - b) gives
|
3 |
æ
è
|
a - |
b
2
|
ö
ø
|
- ( k1 + k2 ) |
é
ê
ê
ë
|
1 - |
|
|
ì
í
î
|
( k12 + k22 )
2
|
+ |
k1 k2
4
|
- k32 - k42 - |
( k1 k32 + k2 k42 )
( k1 + k2 )
|
ü
ý
þ
|
|
{ 20a( a - b ) }
|
ù
ú
ú
û
|
= 0 |
| (2.57) |
The numerator in the quotient of ( 2.57) is of the same order in a and b as the
denominator and is therefore a pure number, q5. Thus
|
3 |
æ
è
|
a - |
b
2
|
ö
ø
|
- ( k1 + k2 )( 1 - q5 ) = 0 |
| (2.58) |
From which
Now, substituting ( 2.59) into the positive root of ( 2.44) yields
and clearly, in this case for x to be positive, q5 must be less than
unity. Re-arranging ( 2.60) for a
|
a = |
æ
è
|
x + |
b
2
|
ö
ø
|
|
æ
è
|
1 - q5
4 - q5
|
ö
ø
|
+ |
b
2
|
|
| (2.61) |
It is clear from ( 2.61) that a cannot be an integer following the same
argument as in Section 2.2. Therefore, z cannot be an integer in ( 2.1). Thus,
subject to q5 exhibiting satisfactory characteristics, this proves
Fermat's Last Theorem for n = 5.
M2 Version 1.0.0
Ó
P.G.Bass, April 2009
|